Question

如图，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点.

（1）求证：、、、四点共面；

（2）求证：平面平面；

（3）若、分别为、的中点，求证：平面平面.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）证明出，即可证明出、、、四点共面；

（2）证明，可得平面，证明四边形是平行四边形，可得出，可证明出平面，再利用面面平行的判定定理可证明出结论；

（3）连接交于点，可得出，可证明出平面，证明出四边形为平行四边形，可得出，可得出平面，然后利用面面平行的判定定理可证明出结论.

（1）是的中位线，.

在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，

，，因此，、、、四点共面；

（2）、分别为、的中点，.

平面，平面，平面.

在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，

且，

、分别为、的中点，且，

四边形是平行四边形，则，

平面，平面，平面.

，且平面，平面，平面平面；

（3）如图所示，连接，设与的交点为，连接，

四边形是平行四边形，是的中点，

为的中点，.

平面，平面，平面.

由（1）知，四边形为平行四边形，则且，

、分别为、的中点，所以，且，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面.

又，平面，平面，

平面平面.