Question

数列满足

(1)计算，并由此猜想通项公式；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

Answer

（1）a1=, a2=, a3=,a4=；an=（2）详见解析.

【解析】

(1)根据数列{an}满足Sn=2n−an+1(n∈N∗)，

当n=1时,S1=a1=2−a1+1,即a1=；

当n=1时,S2=a1+a2=4−a2+1,即a2=；

同理a3=,a4=，

由此猜想an= (n∈N∗)；

(2)当n=1时,a1=，结论成立；

假设n=k(k为大于等于1的正整数)时,结论成立,即ak=，

那么当n=k+1(k大于等于1的正整数)时

∴ak+1===，即n=k+1时，结论成立，

则an= (n∈N∗).