Question

已知函数f（x）=mx²+（1-3m）x-4，m∈R．

（1）当m=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值．

（2）解关于x的不等式f（x）＞-1．

（3）当m＜0时，若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x）＞0，求实数m的取值范围．

Answer

（1）最大值为4，最小值为-5； （2）当m＞0时，不等式的解集为{x|x＜-或x＞3}；当m=0时，不等式的解集为{x|x＞3}；当-时，不等式的解集为{x|3，x＜-}；当m=-时，不等式的解集为∅；当m＜-时，不等式的解集为{x|-＜x＜3}； （3）（-∞，-1）∪（-，0）.

【解析】

（1）当m=1时，函数f（x）在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，即可求解函数的最值．

（2）将不等式，转化为mx2+（1-3m）x-3＞0，分类讨论，即可求解不等式的解集；

（3）m＜0时，f（x）表示开口向下的抛物线，若存在x1∈（1，+∞），使得f（x1）＞0，则（1-3m）2+16m＞0，可得9m2+10m+1＞0，即可求解．

（1）当m=1时，函数f（x）=x2-2x-4在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，

所以当x=-2时，f（x）有最大值，且f（x）max=f（-2）=4+4-4=4，

当x=1时，f（x）有最小值，且f（x）min=f（1）=-5．

（2）不等式f（x）＞-1，即mx2+（1-3m）x-3＞0，

当m=0时，解得x＞3，

当m≠0时，（x-3）（mx+1）=0的两根为3和-，

当m＞0时，-，不等式的解集为：{x|x＜-或x＞3}，

当m＜0时，3-（-）=，

∴当m＜-时，-＜3，不等式的解集为{x|-＜x＜3}，

当m=-时，不等式的解集为∅，

当-时，3＜-，不等式的解集为{x|3＜x＜-}，

综上所述：当m＞0时，不等式的解集为{x|x＜-或x＞3}；

当m=0时，不等式的解集为{x|x＞3}；

当-时，不等式的解集为{x|3＜x＜-}；

当m=-时，不等式的解集为∅；

当m＜-时，不等式的解集为{x|-＜x＜3}．

（3）m＜0时，f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R为开口向下的抛物线，

抛物线的对称轴为x=-=＞1，

若存在x1∈（1，+∞），使得f（x1）＞0，则（1-3m）2+16m＞0，

即9m2+10m+1＞0，解得m＜-1或-，

综上所述：m的取值范围是（-∞，-1）∪（-，0）．