Question

已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间和最值；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）在单调递减，在单调递增，最小值，无最大值；（2）

【解析】

（1）对函数求导，令及求出时的取值范围，可得的单调区间，及的最值；

（2）设，即证时，恒成立，对求导，分与进行讨论，可得的取值范围.

【解析】
（1）由题可知，的定义域为，，

∴在单调递减，在单调递增.

∴在时取得最小值，无最大值.

（2）设，即证时，恒成立.

【法一】

①时，恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.

②时，恒成立，故在上单调递增，有.

ⅰ.即时，此时恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.

ⅱ.即时，，使得，此时在单调递减，单调递增.

∴，不满足题意，舍去.

综上所述，.

【法二】

由，发现，故时，恒成立的必要条件是.

而，，即

①时，恒成立，故在上单调递增，∴恒成立，符合题意.

②时，在时，，，知.

故在上单调递增，恒成立，符合题意.

综上所述，.