Question

某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：

（Ⅰ）利用散点图判断，和（其中，为大于的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；

（Ⅱ）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：

根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；

（Ⅲ）已知企业年利润（单位：千万元）与，的关系为（其中），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

Answer

（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.

【解析】

（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型；

（Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；

（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值.

（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．

（Ⅱ）对两边取对数，得，即

由表中数据得：，

∴，

∴，

∴年研发费用与年销售量的回归方程为.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，

∴，

令，得，

且当时，,单调递增；

当时，,单调递减．

所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.

答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.