Question

已知函数，曲线在点的切线方程为.

（1）求实数的值，并求的极值.

（2）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），，无极小值.（2）存在，3

【解析】

（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得，列出方程求出的值，代入函数解析式和导数，分别求出、对应的的范围，即求出函数的单调区间；

（2）先将分离出，构造函数，再求出此函数的导数并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出的单调性，从而求出的最大值，再由自变量的范围确定出的最大值的范围，从而求出满足条件的的最小值．

（1）依题意，，所以，

又由切线方程可得，即，解得，所以，

所以，令，解得，

当时，，的的变化情况如下：

+

0

-

极大值

所以，无极小值.

（2）若对任意恒成立，则，

记，只需.又，

记，则，所以在上单调递减.

又，，

所以存在唯一，使得，即，

当时，，，的变化情况如下：

+

0

-

+

0

-

极大值

所以，又因为，

所以，

所以，

因为，所以，所以，又，

所以，因为，即，且，

故的最小整数值为3.

所以存在最小整数，使得对任意恒成立.