Question

如图，在三棱台中，，G，H分别为，上的点，平面平面，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求二面角的大小.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明，得到平面，得到答案.

（2）分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为

，计算夹角得到答案.

（1）因为平面平面，平面平面，

平面平面，所以.

因为，所以四边形为平行四边形，所以，

因为，所以，H为的中点.

同理G为的中点，所以，因为，所以，

又且，所以四边形是平行四边形，所以，

又，所以.

又，平面，，所以平面，

又平面，所以平面平面

（2），，，，，所以.

分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.

设平面的一个法向量为，因为，

则，取，得.

设平面的一个法向量为，因为，

则，取，得.

所以，则二面角的大小为