Question

已知椭圆C：（）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为、，点满足：.已知直线l与椭圆C相交于A，B两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l过点，且，求直线l的方程；

（3）若直线l与曲线相切于点（），且中点的横坐标等于，证明：符合题意的点T有两个，并任求出其中一个的坐标.

Answer

（1）（2）或（3）证明见解析；其中一个的坐标为

【解析】

（1）根据题意计算得到，，解得答案.

（2）设，，由题意，则可设直线l的方程为：，联立方程，根据韦达定理得到，，代入计算得到答案.

（3）设，，设直线l的方程为：，联立方程得到，根据切线方程得到，根据对应函数的单调性得到答案.

（1）设椭圆C焦距为，因为椭圆C的短轴长和焦距相等，

所以，①，

因为，所以点Q在椭圆C上，

将代入得：②，

由①②解得：，，所以椭圆C的方程为，

（2）设，，由题意，则可设直线l的方程为：，

由得：，

所以，，

又因为，所以，，

所以，解得：，，

所以，

所以，解得：，

所以直线l的方程为：或.

（3）设，，由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，

由得：，则，

因为直线l与曲线相切于点（），

所以，，所以，

整理得，

令（），所以，

因为在上单调递增；且，，

所以，存在（）使得.

因此在上单调递减，在上单调递增；所以，

又因为，所以，，

又因为，

因此除零点外，在上还有一个零点，

所以，符合题意的点T有两个，其中一个的坐标为.