Question

已知函数.

（1）判断的奇偶性并说明理由；

（2）若，试判断函数的单调性，并用定义法证明；

（3）若已知，且函数在区间[1，+∞）上的最小值为-2，求实数m的值.

Answer

（1）为奇函数，详见解析（2）在上单调递增；证明见解析（3）

【解析】

（1）根据奇偶性的定义判断即可；

（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（3）由求出的值，则可得，令，则再根据二次函数的性质计算可得；

【解析】
（1）为奇函数

由题知，定义域为，又

因此为奇函数

（2），在上单调递增

证明如下：

任取且，则

.

∵，∴，又，，

∴即.

所以函数在上单调递增.

（3），由得，

解得或，∵且，∴，，

令，∵，在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，故在上单调递增，

则，

则，

①当时，时有，解得符合题意；

②当时，时有，解得，不成立舍去.

综上所述.