Question

如图，三棱锥中，，，，，.

（1）求证：平面平面ABC；

（2）M是线段AC上一点，若，求二面角的大小.

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）过点S作于点H，连接BH，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；

（2）以点H为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，在平面上垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的一个法向量为，，利用公式求二面角的大小.

（1）证明：过点S作于点H，连接BH，在中，由，，，可得，，在中，由，，可得，，在中，由，，可得，在中，由余弦定理可得 ，即 ，

在中，，，，

又，，

平面，

平面，

平面平面.

（2）如图所示，以点H为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，在平面上垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，

则，，

易知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则 ，即 ，

令，得 ，

于是，

又二面角为钝角，所以二面角为.