Question

已知函数．

（1）当时，求函数在上的最小值；

（2）若，求证：．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由得，对其求导，解对应的不等式，判断单调性，即可得出最值；

（2）先对函数求导，得到，根据，判断函数的单调性，求出最小值，再由导数的方法研究最小值的范围，即可证明结论成立.

（1）当时，由，得，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，∴．

（2）由题意，函数的定义域为，，

令，，则，设，则，

易知在上单调递增，

∵，∴，，所以存在唯一的，使，

当时，单调递减，当时，，单调递增，

又∵，，

∴当时，，即在上无零点，

∴存在唯一的，使，即，

∵，∴，则．

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增．

∴，．

令，则在上单调递减，

∵∴，又∵∴，从而．