Question

设P是抛物线y²=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A（-1,1）的距离与点P到直线x= - 1的距离之和的最小值为M，若B（3,2），记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N= ______________

Answer

【解析】

当P、A、F三点共线时，点P到点A（-1,1）的距离与点P到直线x= - 1距离之和最小，由两点间的距离公式可得M；

当P、B、F三点共线时，|PB|+|PF|最小，由点到直线的距离公式可得．

可得抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，

∴点P到点A（﹣1，1）的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和

等于P到点A（﹣1，1）的距离与点P到焦点F的距离之和，

当P、A、F三点共线时，距离之和最小，且M=|AF|，

由两点间的距离公式可得M=|AF|；

由抛物线的定义可知|PF|等于P到准线x＝﹣1的距离，

故|PB|+|PF|等于|PB|与P到准线x＝﹣1的距离之和，

可知当P、B、F三点共线时，距离之和最小，

最小距离N为3﹣（﹣1）＝4,

所以M+N=，

故答案为.