Question

如图：在四棱锥中，平面.，，.点是与的交点，点在线段上且.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的正切值.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）推导出，在正三角形中，，从而．

进而，由此能证明平面；
（2）分别以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，求出与平面的法向量，进而利用向量的夹角公式可求出直线与平面所成角的正弦值；

（3）求出面与面的法向量，进而利用向量的夹角公式可求出二面角的平面角的余弦值，再转化为正切值即可.

证明：（1）∵在四棱锥中，平面.，
，.点是与的交点，
，
∴在正三角形中，，
在中，∵是中点，，
，又，
，
，
∵点在线段上且，

，
平面，平面，
∴平面．
（2），
分别以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，

，

，

，
设平面的法向量，

则，取，得，

，

设直线与平面所成角为，
则，

故直线与平面所成角的正弦值为；

（3）由（2）可知，为平面的法向量，

，

设平面的法向量为，

则，即，

令，解得，

设二面角的平面角为，则，

故二面角的正切值为.