Question

已知定义在R上的函数对任意实数都满足，且当时，．

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）判断函数的单调性，并证明；

（3）解不等式．

Answer

（1）为奇函数．证明见解析（2）在R上为增函数．证明见解析（3）当时不等式的解集是．当时不等式的解集是．当时不等式的解集是．

【解析】

（1）用赋值法求出，然后令可得奇偶性；

（2）利用单调性的定义证明单调性；

（3）由奇函数性质化不等式为，由单调性转化为二次不等式，再分类得出解集．

（1）【解析】
为奇函数．

证明：因为，令，

得对任意的都成立，所以．

又令，则，

所以，所以是奇函数．

（2）【解析】
在R上为增函数．

证明：，且使由是奇函数，

得．

因为当时，，

而，所以，

所以，所以在R上为增函数．

（3）【解析】
由，得．

因为是奇函数，所以．

又在R上为增函数，所以．

即，所以．

所以当时不等式的解集是．

当时不等式的解集是．

当时不等式的解集是．