Question

已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N^*），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃＝12，b₃＝a₄﹣2a₁，S₁₁＝11b₄．

（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n（n∈N*）．

Answer

（Ⅰ）an＝3n﹣2，bn＝2n；（Ⅱ）Tn＝（6n﹣7）•2n+4

【解析】

（1）根据题意，用等差数列和等比数列的基本量解方程，从而计算出数列的公差和公比即可求得通项公式；

（2）根据通项公式的特点，选用错位相减法求数列的前项和.

（Ⅰ）由题意，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q＞0．

故2q（1+q）＝12，解得q＝2，

由题意，得，解得．

∴an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；bn＝2•2n﹣1＝2n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an•bn＝（3n﹣2）•2n．

∴Tn＝a1b1+a2b2+…+anbn＝1•2+4•22+…+（3n﹣2）•2n，①

2Tn＝1•22+4•23+…+（3n﹣5）•2n+（3n﹣2）•2n+1，②

①﹣②，得﹣Tn＝1•2+3•22+3•23+…+3•2n﹣（3n﹣2）•2n+1

＝2+6•（2++…+2n﹣1）﹣（3n﹣2）•2n+1

＝2+6•（3n﹣2）•2n+1

＝（10﹣6n）•2n﹣10

∴Tn＝（6n﹣10）•2n+10．