Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDEF，∠ADE＝60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝4，点G是棱CF上的动点．

（Ⅰ）当CG＝3时，求证EG∥平面ABF；

（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值为，求线段CG的长．

Answer

（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（1）通过证明直线AB∥EG，从而由线线平行推证线面平行；

（2）过A作DE垂线AO，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，从而求解线面角的正弦值；

（3）由（2）中所建的直角坐标系，根据二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值，求得G点的坐标，即可求得CG的长度.

（Ⅰ）证明：由已知得CG∥DE且CG＝DE，

故四边形CDEG为平行四边形，

∴CD∥EG，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD∥AB，∴AB∥EG，

又EG⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，

∴EG∥平面ABF．

（Ⅱ）过点A作AO⊥DE交DE于点O，过点O作OK∥CD交CF于点K

由（1）知平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE，AO⊂平面ADE，

∴AO⊥平面CDEF，∵CD⊥DE，∴OK⊥DE，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，

则D（0，﹣1，0），E（0，2，0），C（3，﹣1，0），

F（3，3，0），，D（0，﹣1，0），

∴

设平面ABCD的法向量为，

即，令z＝﹣1，则，

，

∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为，

（Ⅲ）由题意得，G（3，4λ﹣1，0）．

∴，

设平面AEG的法向量为，即，

令y＝3，则，x＝3﹣4λ，

∴，

容易得平面AED的法向量为，

故可得，

解得，

∴，∴|CG|＝λ|CF|＝4λ，

∵|CG|≤4，

∴．