Question

已知等比数列的前项和为，且函数，若方程至少有三个实数根，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

由等比数列前项和的性质，求得参数，再将方程根的个数的问题，转化为函数图像交点个数的问题，利用导数求得直线与函数相切时的斜率，即可求得参数的范围.

因为等比数列的前项和为

根据等比数列前项和的性质，容易知，解得.

令，则

方程至少有三个实数根

等价于至少有三个实数根，

也等价于函数与直线有至少三个交点，

又是斜率为，且恒过的直线，

故只需求出函数与直线有三个交点的临界状态时，对应直线的斜率即可.

则在同一直角坐标系下画出函数图像如下所示：

由图可知，当直线与相切时，恰有三个交点，

设切点为，，故过切点的切线方程为：

，又因为，且该切线过点

故可得

即，解得，

故切点为，此时直线的斜率为

此时有三个交点，故可取；

又根据图象可知，当直线过点时，也是临界状态，

此时直线的斜率为

此时有三个交点，故可取；

综上所述，要满足题意，只需即可.

故选：C.