Question

已知椭圆：的离心率，是椭圆上的动点，且点到椭圆焦点的距离的最小值为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，当时，求面积的最大值.

Answer

(1)；(2).

【解析】

（1）根据离心率以及椭圆定义，列出方程组，求解即可得到椭圆方程；

（2）设出直线方程，联立椭圆，由韦达定理，结合，得到直线方程，从而将面积的最值问题转化为点到直线的距离的最值问题.

（1）根据题意可得，

故可解得，由，

故椭圆方程为.

（2）由（1）可知椭圆右焦点坐标为，

当直线斜率不存在时，即为，解得

满足，

显然，当且仅当点为椭圆的左顶点时，此时面积取得最大值

.

当直线斜率存在时，设直线方程为：

联立椭圆方程

可得

因为

故可得

整理得

解得，此时直线方程为

故

又当点P在椭圆上，且过P点的切线与直线平行时，面积最大

故设该切线为

联立椭圆方程

可得

令

解得，或(舍)

当时可得

解得，，即

由点P到直线的距离公式可得：

三角形的高，

故

又因为

故当且仅当直线的斜率不存在时，面积取得最大值.