Question

函数.

（1）若，，讨论函数的零点个数情况；

（2）若，对于，存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) 当或时，函数 有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点；(2).

【解析】

（1）分离参数，将函数零点个数的问题，转化为函数图像交点的问题，通过求解函数单调性和值域，得出结论；

（2）分离参数，将能成立问题转化为函数值域的问题，再利用导数求解函数的值域即可.

（1）当时，，定义域为

令，即，等价于

令，则，令，解得

故当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

故.

又当趋近于0时，趋近于正无穷；

当时，，且趋近于0，

据此，画出函数的示意图如下：

结合图像，以及函数单调性可知：

当或时，函数 有一个零点；

当时，函数有两个零点；

当时，函数没有零点.

（2）当时，

存在,等价于存在, ，且

等价于存在时，能成立，

且存在使得能成立.

因为是单调减函数，故能成立，

等价于

即；

令，故

令，解得或(舍)

故当单调递减，当，函数单调递增

故，又，

因为，故当时，

故要使得当时，存在，使得成立

只需，又因为

故可得.