Question

如图所示，在直四棱柱中，，点是棱上一点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）试确定点的位置，使得平面平面.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）点为棱的中点时，平面平面.

【解析】

（1）由题意可知，四边形是平行四边形，即，再根据线面平行的判定定理，证明即可.

（2）在直四棱柱中，平面，从而，由题意可知，根据线面垂直的判定定理，证明平面，即可.

（3）取的中点，的中点，连接交于点，连接.则是的中点.由题意可知，，根据面面垂直的性质定理，可知平面，当点为棱的中点时，，平面，即可使得平面平面.

（1）因为为直四棱柱.

所以，且.

所以四边形是平行四边形，即.

又因为平面，平面.

所以平面.

（2）因为平面，平面，所以.

又因为，且，平面，平面

所以平面.

而平面，所以.

（3）当点为棱的中点时，平面平面.如图，

取的中点，的中点，连接交于点，连接.

则，即是的中点.

因为是的中点，，所以.

因为在直四棱柱中

所以平面

又因为平面

所以平面平面

又平面平面，平面.

所以平面.

当点为棱的中点时

所以，且.

所以是平行四边形，即.

所以平面.

又因为平面

所以平面平面.