Question

如图①，有一个等腰直角三角板垂直于平面，有一条长为7的细线，其两端分别位于处，现用铅笔拉紧细线，在平面上移动.

           图①                            图②

（1）图②中的的长为多少时，平面？并给出证明.

（2）在（1）的情形下，求三棱锥的高.

Answer

（1）当时，平面，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）若使得平面，则需三角形为直角三角形且，当时，根据线面线面垂直的判定定理，证明即可.

（2）方法一，过点作于点，由（1）可知，，则平面，即为三棱锥的高，在中计算，再根据，求解即可. 方法二，设三棱锥的高为，根据，求解即可.

（1）当时，平面.证明如下：

若，则

因为，所以

所以三角形为直角三角形，且.

又因为平面平面，平面平面，平面

所以平面.

因为平面

所以.

又因为平面，平面，.

所以平面.

（2）方法一 如图，过点作于点.

由（1）知平面，平面

所以.

又平面，平面，，

所以平面，即为三棱锥的高.

由于平面，所以，

由，得.即三棱锥的高为.

方法二 由（1），知平面，平面

所以.

又，

所以，即.

设三棱锥的高为，则.

又，

且，所以，即.

所以三棱锥的高为.