Question

在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为． 

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）以曲线上的点为切点做曲线的切线，设分别与、轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切.当圆的面积最小时，求与面积的比．

Answer

（I）；（II）.

【解析】

（I）由，根据抛物线的定义，点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，即可求得抛物线方程；（II）求直线的斜率，解法一，联立直线的方程与抛物线的方程，根据，即可求得直线的斜率；解法二，当时，，求导，即可求得切线斜率，然后利用点斜式方程即可求得切线方程，取得和点坐标，利用点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，当时，满足题意的圆的面积最小，求得和点坐标，利用三角形的面积公式即可求得△与△面积的比．

（Ⅰ）由题意得，

点到直线的距离等于它到定点的距离，

点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，

点的轨迹的方程为

（Ⅱ）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 ．

由 ，得，即，由，得到．

∴，

解法二：由，当时，.

以为切点的切线的斜率为

以为切点的切线为，即，整理.

令则.

令则.

点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．

∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．

∴，．

∴，．

∴．

△与△面积之比为．