Question

已知函数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求导求出，对分类讨论，以（或）是否恒成立作为分类标准，当（或）不恒成立，求出的解，即可得出结论；

（Ⅱ）构造函数，原问题转化为对任意的，总存在，使得成立，即，利用求导方法，求出的最值，将问题转化为与的函数关系，即可求解.

（Ⅰ）的定义域为，，

令，，

（1）当，即时，

恒成立，即恒成立，

故函数的单增区间为，无单减区间.

（2）当，即时，由解得

或，

i）当时，，

所以当或时，

当时.

ii）当时，，

所以当时，

当时；

综上所述：

当时，函数的单增区间为，无单减区间.

当时，函数的单增区间为和，

单减区间为.

当时，函数的单增区间为，

单减区间为.

（Ⅱ）令，.

原问题等价于：对任意的，总存在，

使得成立，即.

∵，∵，，

∴，∴在上单调递增，

∴，

即对任意的恒成立，

令，，只需，

，∵，∴，

∴在上单调递增，∴，

所以.