Question

已知四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，，，，，E为DC中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的高．

（注：棱台的两底面相似）

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）连结，可证四边形为平行四边形，故可证平面；

（2）连结BD，在中运用余弦定理可得：，利用勾股定理和线面垂直的性质，可得平面，因此可证；

（3）根据题意，不难求，再利用即可求三棱锥的高．

（1）证明：连结，因为为四棱台，所以，

又因为四边形ABCD为平行四边形，

，，

所以，又，

且，

∴四边形为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面．

（2）证明：连结BD，在中运用余弦定理可得：，

∴由勾股定理逆定理得，

即．

又平面ABCD，，

平面，

所以．

（3）在中，，，，

所以，

故．

由（1）知，

由（2）知，，所以．

在中，由勾股定理得，

在中，由，可得，

设O为DB的中点，连结，

则，且，又，

所以，由勾股定理得，

在中，因为，，，

所以，即，

故，

设所求棱锥的高为h，则，

所以．