Question

如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，，H为PC的中点，M为AH的中点，.

（1）求PM与平面AHB成角的正弦值；

（2）在线段PB上是否存在点N，使得平面ABC.若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由.

Answer

（1） （2）存在，N靠近点B的四等分点

【解析】

（1）在平面ABC中，过点A作，以A为原点，建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再根据公式求解；

（2）利用，表示点的坐标，再利用，求点的坐标.

（1）【解析】
在平面ABC中，过点A作，

因为平面PAC，所以平面PAC，

由底面ABC，得PA，AC，AD两两垂直，

所以以A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，

则，

设平面AHB的法向量为，

因为，.

由，得，

令，得.

设PM与平面AHB成角，因为，

所以

即.

（2）【解析】
因为，设，

所以，又因为，

所以.

因为平面ABC，平面ABC的法向量，

所以，解得.

即点N是靠近点B的四等分点.