Question

设函数，．

（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；

（2）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值．

Answer

（Ⅰ）a=e；（Ⅱ）a的最大值为2e；

【解析】

（Ⅰ）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据条件列方程解得a；（Ⅱ）先求导数，再根据导函数零点与1大小分类讨论，根据函数单调性确定函数最小值，最后根据最小值大于零，解得a的取值范围，即得最大值.

（Ⅰ）∵，∴f'（x）=exa，∴f'（1）=ea，

由题设知f'（1）=0，即ea=0，解得a=e．

经验证a=e满足题意．

（Ⅱ）令f'（x）=0，即ex=a，则x=lna，

（1）当lna＜1时，即0＜a＜e

对于任意x∈（-∞，lna）有f'（x）＜0，故f（x）在（-∞，lna）单调递减；

对于任意x∈（lna，1）有f'（x）＞0，故f（x）在（lna，1）单调递增，

因此当x=lna时，f（x）有最小值为成立．所以0＜a＜e，

（2）当lna≥1时，即a≥e对于任意x∈（-∞，1）有f'（x）＜0，

故f（x）在（-∞，1）单调递减，所以f（x）＞f（1）．

因为f（x）的图象恒在x轴上方，所以f（1）≥0，即a≤2e，

综上，a的取值范围为(0,2e],所以a的最大值为2e．