Question

已知定义在上的函数满足：①对任意，有.②当时，且.

(1)求证：；

(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；

(3)解不等式.

Answer

(1)证明见解析；(2)为奇函数，证明见解析；(3).

【解析】

（1）赋值法，令可证得；

（2）令代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得是奇函数；

（3）设，由主条件构造，由时可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“”，从而可求出不等式的解集．

(1)证明：令，，∴；

(2)令，∴，∴，

∴函数是奇函数；

(3) 时，且，

设，则，∴，

∴为上减函数，

∵，，

∴，即，

∴不等式的解集为：.