Question

如图，点T为圆上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）这样的直线不存在，理由见解析.

【解析】

（1）设,则,由题意知,所以为中点,利用中点公式求得,再利用相关点法求轨迹方程即可；

（2）易知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,由可得,联立直线与曲线的方程可得,由韦达定理可知与的关系,利用四边形OMQN为平行四边形,则对角线相互平分可得,代入曲线的方程,进而求解即可

（1）设,则,

由题意知,所以为中点,

由中点坐标公式得,即,

又点在圆上,

故满足,则,

所以曲线C为

（2）由题意知直线的斜率存在且不为零,

设直线的方程为,则,,

因为,所以,即①

联立方程,消去得:,

设,,

则,

因为为平行四边形,所以为,即,

因为点在曲线上,故,整理得②

将①代入②,得,该方程无解,

故这样的直线不存在.