Question

已知函数，其导函数的最大值为.

（1）求实数的值；

（2）若，证明：.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）先对求导，然后根据导数形式对进行分类讨论，通过导函数最大值为0，求得的值.

（2）要证，则需证，再利用的单调性，证，利用条件把换掉，构造函数

证明，对求导，研究其单调性和极值，得到结论.

（1）由题意，函数的定义域为，其导函数

记则.

当时，恒成立，所以在上单调递增，且.

所以，有，故时不成立；

当时，若，则；若，则.

所以在单调递增，在单调递减。

所以.

令，则.

当时，；当时，.所以在的单减，在单增.

所以，故.

（2）当时，，则.

由（1）知恒成立，

所以在上单调递减，

且，

不妨设，则，

欲证，只需证，因为在上单调递减，

则只需证，又因为，

则只需证，即.

令（其中），且.

所以欲证，只需证，

由，

整理得：，

，

所以在区间上单调递增，

所以，，

所以函数在区间上单调递减，

所以有，，故.