Question

某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：

	0	1	2	3	4
	15	12	11	9	8

（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；

（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则的最大值是多少？

（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.

Answer

（1）

（2）每株“相近”的株数的最大值为5.

（3）的分布列为：

11

一株产量的期望为

【解析】

（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；

（2）先根据题意求得产量的范围，再根据回归方程解得m的范围即可；

（3）根据相邻株数的取值计算对应的产量，从而得出分布列和数学期望．

（1）由题意得：，

，

∴

，

，

所以，

，

所以.

（2）设每株的产量为，

根据题意：，

解得，

令，

解得，

所以每株“相近”的株数的最大值为5.

（3）由回归方程得：

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

由题意得：

，

，

，

，

所以的分布列为：

11

所以，

所以一株产量的期望为.