Question

如图，几何体中，，均为边长为2的正三角形，且平面平面，四边形为正方形.

（1）若平面平面，求证:平面平面；

（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）取的中点,的中点,连接.可证明,结合,可知四边形为平行四边形.进而由和及平面与平面平行的判定定理证明平面平面;

（2）连结,可知即为二面角的平面角.以为原点建立空间直角坐标系.由线段关系写出各个点的坐标,求得平面的法向量,即可根据直线与平面夹角的向量关系求得直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：取的中点,的中点,连接.如下图所示:

因为,且平面平面,

所以平面,

同理平面,

所以,

又因为,

所以四边形为平行四边形,

所以,平面,

又, 平面,

又因为和交于点

所以平面平面.

（2）连结,则,

又

所以为二面角的平面角,

所以

建立如图所示的空间直角坐标系,

则

所以

设平面的一个法向量是,

则,即,

令,即,

又因为,

所以,

即所求的角的正弦值为.