Question

设椭圆的一个焦点为，四条直线，所围成的区域面积为.

（1）求的方程；

（2）设过的直线与交于不同的两点，设弦的中点为，且（为原点），求直线的方程.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由题意,结合椭圆的性质可得的方程组,解方程组即可求得椭圆的标准方程.

（2）因为直线过定点,设出直线方程,并联立椭圆方程.化简后利用判别式求得斜率的取值范围.由三角形几何性质可知,结合平面向量数量积定义及韦达定理求得斜率的方程,解方程即可求得斜率,进而可得直线的方程.

（1）依题意得,解得

椭圆的方程为．

（2）易知直线的斜率存在,并设直线方程为,

联立椭圆,,化简得,

设、,

,

且,

由三角形几何性质可知

,

即,

．

将

代入上式得

化简得,所以

故所求的直线方程为