Question

已知函数满足:①定义为；②.

（1）求的解析式；

（2）若；均有成立，求的取值范围；

（3）设，试求方程的解.

Answer

（1）（2）（3），、，、

【解析】

（1）利用构造方程组法即可求得的解析式;

（2）根据不等式,构造函数与.根据不等式恒成立可知满足.求得.通过判断的符号可判断的单调性,由其单调性可得,进而可知为单调递增函数,即可求得.再根据及二次函数性质,可得的取值范围;

（3）根据的解析式,画出函数图像.并令,则方程变为.解得的值.即可知、及.结合函数图像及解析式,即可求得对应方程的解.

（1）,…①

所以即…②

由①②联立解得:.

（2）设,

,

依题意知:当时,

又在上恒成立,

所以在上单调递减

在上单调递增,

,

解得:

实数的取值范围为.

（3）的图象如图所示：

令,则

当时有1个解,

当时有2个【解析】
、,

当时有3个解:、.

故方程的解分别为：

,、,、