Question

某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；

（2）设.试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.

Answer

（1）分布列见解析；（2）见解析.

【解析】

(1)易得可能的取值为,再求分布列即可.

(2)根据(1)中的分布列,分别求得时的数学期望,再分析三种情况下需要化验的总次数,从而得到最多可以减少的次数即可.

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为,则.

所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为.

依题意可知所以X的分布列为：

（2）方案②中.

结合（1）知每个人的平均化验次数为：

.

所以当时,,此时960人需要化验的总次数为662次,

时,,此时960人需要化验的总次数为580次,

时,,此时960人需要化验的次数总为570次,

即时化验次数最多, 时次数居中, 时化验次数最少.

而采用方案①则需化验960次,

故在这三种分组情况下,相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少960-570=390次.