Question

已知的三个内角，，所对的边分别为，设，.

（1）若，求与的夹角；

（2）若，求周长的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）将代入可求得.根据平面向量数量积的坐标运算求得,由数量积的定义即可求得,进而得夹角.

（2）根据及向量模的坐标表示,可求得.再由余弦定理可得.结合基本不等式即可求得的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得的取值范围,进而求得周长的最大值.

（1）,所以,

因为,

,

又,,

,

,

（2）因为,即,

所以,

方法1.由余弦定理,得.

,

即,

即,（当且仅当时取等号）

所以周长的最大值为.

方法2.由正弦定理可知,

,

,,

所以,

又,,

,

,

所以当时,取最大值.

所以周长的最大值为.