Question

如图，几何体中，，均为边长为2的正三角形，且平面平面，四边形为正方形.

（1）若平面平面，求几何体的体积；

（2）证明：平面平面.

Answer

（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意证出平面，故所求的几何体的体积等于三棱锥的体积的2倍，运算求得结果；（2）先证明和平行且相等，可得四边形为平行四边形，可得，再证，利用平面和平面平行的判定定理，证得平面平面.

（1）取的中点，的中点，连接.

因为，且平面平面，

所以平面，

同理平面，

又因为，

所以.

（2）证明：设平面平面，

因为平面平面，

所以，

因为，，

所以，

即与重合，

所以

所以四边形为平行四边形，

所以，

平面,平面,

平面,

又

同理可得平面，

,

平面，

所以平面平面；