Question

设椭圆的一个焦点为，四条直线，所围成的区域面积为.

（1）求的方程；

（2）设过的直线与交于不同的两点，若以弦为直径的圆恰好经过原点，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由题意知、面积以及列出方程组，即可求出的方程；

（2）根据题意设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，且根据向量数量积列出关系式，求出斜率，即可得直线的方程.

（1）依题意得，

解得，

椭圆的方程为．

（2）易知直线的斜率存在，并设直线方程为，将其代入，

化简得，

设、，

，

且，

依题意可知，

，

即

将代入上式得

化简得，所以

故所求的直线方程为.