Question

已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值；

(3)在(2)的条件下，若双曲线的右顶点为，求的面积.

Answer

(1)；(2)2；(3).

【解析】

（1）由题意设双曲线，把已知点的坐标代入求得，则双曲线方程可求；

（2）设，，，，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求得的中点坐标，代入圆的方程即可求得值；

（3）双曲线的右顶点为，当时，可得，，利用行列式计算面积，即可得答案．

(1)设，

∵过点，∴，

∴，即；

(2)设，，，，

联立，得①．

，则的中点坐标为，

代入圆，得，解得；

(3)∵，当时，①式即，

∴，，

∴.