Question

在平面直角坐标系中，设椭圆.

(1)过椭圆的左焦点，作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若，求实数的值；

(2)已知点，、是椭圆上的动点，，求的取值范围；

(3)若直线与椭圆交于、两点，求证：对任意大于3的实数，以线段为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标.

Answer

(1)；(2)；(3)证明见解析，.

【解析】

（1）由椭圆的方程可得左焦点坐标，再由的长可得纵坐标，即椭圆过，代入椭圆的方程求出的值；

（2）代入椭圆可得椭圆的标准形式，设的坐标，中的用向量表示，再由题意可得关于的坐标的关系，由的坐标的范围求出数量积的取值范围；

（3）将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出的中点的坐标，及弦长，求出以线段为直径的圆的方程，整理出关于的二次三项式恒为0，可得的所有系数都为0，可得，的值，即圆恒过的定点坐标．

（1）由题意可得：，即左焦点为：，若，所以，将，代入椭圆可得：，又解得：；

（2）时，椭圆的方程为：，设，，

，由题意可得：

，由，

所以，．

（3）联立直线与椭圆的方程可得：，解得，，设，，所以的中点为：，，

，

所以以线段为直径的圆的方程为：

，

整理可得：，

即，

整理可得：，

对于任意的，关于的二次三项式恒为0，

所以二次项，一次项和常数项的系数均为0，即，

所以，，

即定点坐标为．