Question

已知函数，为自然对数的底数.

（1）当时，证明，，；

（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析：（2）

【解析】

(1)代入,求导分析函数单调性,再的最小值即可证明.

(2) ,若函数在上存在两个极值点,则在上有根.再分,与,利用函数的零点存在定理讨论导函数的零点即可.

(1)证明：当时,,则,

当时,,则,又因为,

所以当时,,仅时,,

所以在上是单调递减,所以,即.

(2),因为,所以,

①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.

②当时,在区间上单调递增,

因为.

当时,,

所以在上单调递减,没有极值点.

当时,,所以存在,使

当时,时,

所以在处取得极小值,为极小值点.

综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.