Question

对于区间[a,b](a<b),若函数同时满足：①在[a,b]上是单调函数，②函数在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“保值”区间

（1）求函数的所有“保值”区间

（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由

Answer

（1）； （2）.

【解析】

（1）由已知中的保值区间的定义，结合函数的值域是，可得，从而函数在区间上单调，列出方程组，可求解；

（2）根据已知保值区间的定义，分函数在区间上单调递减和函数在区间单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案.

（1）因为函数 的值域是，且在的最后综合讨论结果，

即可得到值域是 ，所以，所以，从而函数在区间上单调递增，

故有，解得 .

又 ，所以.所以函数的“保值”区间为 .

（2）若函数存在“保值”区间，则有：

①若，此时函数在区间上单调递减，

所以 ，消去得，整理得 .

因为，所以 ，即.又 ，所以.

因为 ，所以.

②若 ，此时函数在区间上单调递增，

所以，消去 得，整理得.

因为，所以，即.

又 ，所以.

因为 ，所以 .

综合①、②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是.