Question

设抛物线的准线与轴的交点为,过作直线交抛物线于两点.

（1）求线段中点的轨迹；

(2)若线段的垂直平分线交对称轴于),求的取值范围；

(3)若直线的斜率依次取时,线段的垂直平分线与对称轴的交点依次为

，当时，

求：的值.

Answer

(1) 抛物线位于直线右方的两段抛物线弧.

(2) .

(3) .

【解析】

（1）设直线：，联立，利用韦达定理求解的中点为，求解轨迹方程，得到轨迹为该抛物线位于直线右方的两段抛物线弧；（2）设的中点为，求出线段的垂直平分线的方程，然后求解；（3）求出中点的横坐标，求出点的横坐标，通过数列为一无穷递缩等比数列，求解所有项的和．

(1)设直线,联立，

得： ，

由且得到: .

设的中点为,则，

消去得, .

实际轨迹为该抛物线位于直线右方的两段抛物线弧.

(2)设的中点为，

则线段的垂直平分线的方程为: .

令,得 ，

由，得.

(3) 由(1)知中点的横坐标，.

则当时,点的横坐标，

同理的横坐标，，.

数列为一无穷递缩等比列，所有项的和为.