Question

若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界.

(1)设，，试判断是否为有界集合，并说明理由；

(2)已知常数，若函数为有界集合，求集合的上界最小值.

(3)已知函数，记，，，，求使得集合为有界集合时的取值范围.

Answer

（1）不是有界集合，B是有界集合，证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1），，结合定义说明它不是有界集合，求出，所以集合是有界集合；（2）先求出时，集合的上界，时，集合的上界，再求集合的上界最小值；（3）先求出，再结合有界集合的定义求解.

（1）由得，即，，

对任意一个，都有一个，故不是有界集合．

，

又在上是增函数，且时，，

，

，是有界集合，上界为1.

（2），

因为，所以函数单调递减，

，

因为函数为有界集合，

所以分两种情况讨论：

当即时，集合的上界.

当时，不等式为；

当时，不等式为；

当时，不等式为.

即时，集合的上界.

当即时，集合的上界.

同上解不等式得的解为.

即时，集合的上界.

综上得时，集合的上界，时，集合的上界.

时，集合的上界是一个减函数，所以此时;

时，集合的上界是增函数，所以，

所以集合的上界最小值.

（3），

，

因为为有界集合，存在常数使得，

又

，

恒成立，

，．

当时，，故成立；

当时，所以不成立.

同理时不成立.

故.