Question

如图，已知椭圆（）的焦点到相应准线的距离为3，离心率为，过右焦点F作两条互相垂直的弦、，设，的中点分别为M、N.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若弦，的斜率均存在，且和的面积分别为，，试求当最大时的方程.

Answer

（1）；（2）或

【解析】

（1）直接根据椭圆的几何性质得到，的值；
（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，求出的面的表达式，同理求出的面积不等式，从而可求出，利用基本不等式即可求其最大值，从而得解.

（1）由题意：，，则，，，所以椭圆的方程为.

（2）由题意可得.

∵，斜率均存在，设直线方程为：（），，，则.

∴由得.

∴，，则.

∴同理可得

∴，

∴，

∵，当且仅当即时取等号

∴当时，最大，此时直线的方程为或.