Question

如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：，，，长1千米，长千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊，扇形以长为半径，弧为湖岸，其余部分为滩地，B，D点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段线段弧，其中Q在线段上（异于线段端点），与弧相切于P点（异于弧端点］根据市场行情，段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧的建造费用是每千米万元（步行道的宽度不计），设为弧度观光步行道的建造费用为万元.

 

（1）求步行道的建造费用关于的函数关系式，并求其走义域；

（2）当为何值时，步行道的建造费用最低？

Answer

（1），定义域：；（2）当时，步行道的建造费用最低.

【解析】

（1）以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，可得所在圆的方程为，可得，从而求得所在直线方程，与所在直线方程联立求得坐标，即可得到与，再由弧长公式求的长，再根据与相切于点（异于弧端点）与，即可求得函数关系式与其定义域；

（2）令，利用导数求使步行道的建造费用最低时的值．

（1）以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则所在圆的方程为，，，直线：.

∵直线的方程为

∴.

所以，，弧长，

所以，化简得.

∵与相切于点（异于弧端点），

∴定义域：.

（2）令，求导得，令，

（舍去），，，

0

极小值

所以当时，最小，即w最小，当时，步行道的建造费用最低.