Question

已知函数，，.

（1）求函数的单调增区间；

（2）令，且函数有三个彼此不相等的零点0，m，n，其中.

①若，求函数在处的切线方程；

②若对，恒成立，求实数t的去取值范围.

Answer

（1）单调增区间是，；（2）①，②或

【解析】

（1）先求得函数，对函数求导，令大于零，解不等式即可求得单调增区间；
（2）易知，，①求出，的值，进而求得切线方程；②由对，恒成立，可得，分与两种情况讨论，从而可求得的取值范围．

（1）∵，

∴

∴，令，得或.

∴的单调增区间是，.

（2）由方程，得m，n是方程的两实根，故，，且由判别式得.

①若，得，，故，得，

因此，故函数在处的切线方程为.

②若对任意的，都有成立，所以.

因为，，所以或.

当时，对有，所以，解得.又因为，得，则有；

当时，，则存在的极大值点，且.

由题意得，将代入得进而得到，得.

又因为，得.

综上可知t的取值范围是或.