Question

已知等差数列的前n项和，且满足，，数列是首项为2，公比为q（）的等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设正整数k，t，r成等差数列，且，若，求实数q的最大值；

（3）若数列满足，，其前n项和为，当时，是否存在正整数m，使得恰好是数列中的项？若存在，求岀m的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）根据等差数列的前项和为，且满足，，可得数列的通项公式；
（2）根据，，成等差数列与，推导出，从而得出，令，则，从而可得的最大值；
（3）根据题设条件可得，再利用恰好是数列中的项，可得只能为，，，利用分类思想，即可求出的值．

（1）等差数列中，，，

解得，，.

（2）正整数k，t，r成等差数列，且，若，

，，

又整理可得..

又，，令，则，或1.

又，.∴n为奇数，，为递减数列

∴当时，q取最大值.

（3）由题意得，.

若恰好是数列中的项只能为，，，

第一类：若，则，所以m无解；

第二类：若，则.由题意不符合题意，符合题意.

当时，令（），则，

设，则，

即为增函数，故，为增函数.故，

即当时，无解，即是方程唯一解.

第三类：若，则，即

综上所述，或.