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在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点F在直线上，平行于x轴的两条直线，分...

在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点F在直线上，平行于x轴的两条直线，分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若F在线段上，P是的中点，证明：.

 

（1）；（2）见解析 【解析】 （1）根据抛物线的焦点在直线上，可求得的值，从而求得抛物线的方程； （2）法一：设直线，的方程分别为和且，，，可得，，，的坐标，进而可得直线的方程，根据在直线上，可得，再分别求得，，即可得证；法二：设，，则，根据直线的斜率不为0，设出直线的方程为，联立直线和抛物线的方程，结合韦达定理，分别求出，，化简，即可得证. （1）抛物线C的焦点坐标为，且该点在直线上， 所以，解得，故所求抛物线C的方程为 （2）法一：由点F在线段上，可设直线，的方程分别为和且，，，则，，，. ∴直线的方程为，即. 又点在线段上，∴. ∵P是的中点，∴ ∴，. 由于，不重合，所以 法二：设，，则 当直线的斜率为0时，不符合题意，故可设直线的方程为 联立直线和抛物线的方程，得 又，为该方程两根，所以，，，. ， 由于，不重合，所以
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