Question

如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点作，垂足为，利用勾股定理证明，利用平面，证明，即可证明平面；

（2）证得平面，利用，即可求解的体积.

(1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，

所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，

又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2，

所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，

所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.

又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，

所以AC⊥平面BCE.

(2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，

又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，

AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.

VE－BCF＝VC－BEF＝××BE×EF×CM＝×2×4×2＝.