Question

已知函数，.

（1）当，时，求函数在处的切线方程，并求函数的最大值；

（2）若函数的两个零点分别为，，且，求证：.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）当时，求得斜率和切点的坐标，利用点斜式写出切线方程.根据函数的导数求得函数的单调区间，由此求得函数的最大值.（2）将两个零点代入函数的解析式，将得到两个方程相减，化简为的表达式，通过令，将所要证明的不等式转化为证明，构造函数，利用导数证明，由此证得原不等式成立.

（1）【解析】
当，时，，，

则，切点为，故函数在处的切线方程为.

令，则在是减函数，

又，∴，，，，，，

在上是增函数，在是减函数，.

（2）证明：∵，是的两个零点，不妨设，

∴，

，，

∴，，

相减得：

，

，

∴ ，

令，即证，，

，

令，，，

在上是增函数，又∵，

∴，，命题得证.